Реципрочна вредносц

Реципрочна вредносц числа $x$, хтора ше означує $\frac{1}{x}$ або $x^{-1}$, то число хторе кед ше помножи зоз $x$ достава ше резултат 1.

Реципрочна вредносц розламка $\frac{a}{b}$ то $\frac{b}{a}$.

За доставанє реципрочней вредносци реалного числа потребне подзелїц 1 зоз тим числом. Наприклад, реципрочна вредносц числа 5 то єдна пиятина ($\frac{1}{5}$ або 0,2) а реципрочна вредносц числа 0,25 то 1 подзелєно зоз 0,25, односно 4.

Реципрочна функция, функция $f(x)$ хтора пресликовює $x$ до $\frac{1}{x}$, єдна зоз найєдноставнєйших прикладох функциї хтора сама себе инверзна.

Нотация $f^{-1}$ ше дакеди хаснує за инверзну функцию функциї $f$, хтора нєєднака зоз реципрочну вредносцу. Наприклад, реципрочна вредносц $\frac{1}{\sin x}=(\sin x{)}^{-1}$ то косеканс од $x$, и нєинверзни синус тє. аркус синус од $x$ хтори ше означує зоз ${\sin }^{-1}x$ або $\arcsin x$.

Комплексни числа

Реципрочна вредносц комплексного числа розличного од нули $z=a+bi$ комплексна. Достава ше зоз множеньом и чишлїтеля и менователя $\frac{1}{z}$ зоз його кон'юґовано-комплексним числом $\overline{z}=a-bi$ и хаснуюци свойсво же $z\overline{z}=\Vert z{\Vert }^2$, квадрирана абсолутна вредносц $z$, а то реалне число $a^2+b^2$:

$\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{\Vert z{\Vert }^2}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i.$

Конкретно, кед $\Vert z\Vert$ = 1, теди $\frac{1}{z}=\overline{z}$.

За комплексне число у поларней форми $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, реципрочна вредносц єднака зоз реципрочну вредносцу интензитету $r$ и негативни угли:

$\frac{1}{z}=\frac{1}{r}(\cos (-\phi )+i\sin (-\phi )).$

Инфинитезимални рахунок

Вивод

Вивод функциї $\frac{1}{x}=x^{-1}$ дати на основи виводу ступньовей функциї, кед ступень -1:

$\frac{d}{dx}{x}^{-1}=(-1)x^{(-1)-1}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}.$

Интеґрал

Интеґрал ступньовей функциї ше нє може хасновац же би ше вираховал интеґрал $\frac{1}{x}$, прето же би то було дзелєнє зоз нулу:

$\int \frac{1}{x}dx=\frac{x^0}{0}+C$.

Прето ше интеґрал рахує як:

$\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{x}dx=\ln a,$

$\int \frac{1}{x}dx=\ln x+C.$

дзе $\ln$ природни лоґаритем. Най тото докажеме мушиме вжац до огляду же $\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$, та кед $y=e^x$и $x=\ln y$, доставаме:

$\frac{dy}{dx}=y\Rightarrow \frac{dy}{y}=dx\Rightarrow \int \frac{1}{y}dy=\int 1dx\Rightarrow \int \frac{1}{y}dy=x+C=\ln y+C.$