Виєтово формули

У математики, односно алґебри, Виєтово формули, хтори достали мено по Франсоа Виєту, формули хтори даваю вязу помедзи нулами єдного полинома и його коефициєнтами.

Формули

Кед $P(X)=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0$ полином ступня $n\ge 1$ зоз комплекснима коефициєнтами (числа $a_0,a_1,\dots ,a_{n-1},a_n$ комплексни, и $a_n\ne 0$), по основней теореми аритметики $P(X)$ ма $n$ (нєобовязно розлични) комплексни коренї $x_1,x_2,\dots ,x_n.$ Виєтово формули:

$x_1+x_2+\cdots +x_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n}$

$(x_1{x}_2+x_1{x}_3+\cdots +x_1{x}_n)+(x_2{x}_3+x_2{x}_4+\cdots +x_2{x}_n)+\cdots +x_{n-1}{x}_n=\frac{a_{n-2}}{a_n}$

$\cdots$

$x_1{x}_2\cdots x_n=(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}.$

З другима словами, сума шицких можлївих продуктох $k$ нулох полинома $P(X)$ єднака $(-1{)}^k{a}_{n-k}/a_n,$

$\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n}{x}_{i_1}{x}_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1{)}^k\frac{a_{n-k}}{a_n}$

за кажде $k=1,2,\dots ,n.$

Виєтово формули важа за полиноми зоз коефициєнтами у гоч хторим комутативним персценю, потамаль покля тот полином ступня $n$ ма $n$ нули у тим персценю.

Приклад

За полином другого ступня $P(X)=a{X}^2+bX+c$, $x_1$ и $x_2$ ришєня квадратней єдначини, односно важи $P(X)=0$ задоволюю єднакосц

$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1{x}_2=\frac{c}{a}.$

Перша єдначина може ше похасновац же би ше нашол минимум (або максимум) од P.

Доказ

Виєтово формули ше можу доказац зоз записованьом єднакосци: $a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0=a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdots (X-x_n)$

(цо точне, прето же $x_1,x_2,\dots ,x_n$ шицки нули полинома), зоз множеньом през фактори зоз правого боку и глєданьом коефициєнта за кажди ступень $X$.