Безуова теорема

Безуова теорема то єдна зоз алґебарских теоремох хтора дефинує дзелївосц двох полиномох кед дзелїтель ма форму $x-\alpha$. Вона ше хаснує за розкладанє полиномох на фактори. Теорема достала мено по французкому математичарови Ет'єнови Безуови.

Теорема (Безуов став): Дати полином $P(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n(a_0,a_1,a_2,\dots ,a_n\in ℝ)$, и полином $Q(x)=x-\alpha (\alpha \in ℝ)$, теди полином $P(x)$ при дзелєню зоз полиномом $Q(x)$ дава остаток $P(\alpha )$. Специялно, кед $P(\alpha )=0$ полином $P(x)$ дзелїви зоз полиномом $Q(x)$.

Доказ: У общим случаю, дзелєнє двох полиномох ше може записац як:

$P(x)=B(x)\cdot Q(x)+R(x)$

дзе $B(x)$ полином хтори представя количнїк, а $R(x)$ остаток при дзелєню полинома $P(x)$ зоз $Q(x)$. Зоз заменьованьом $Q(x)=x-\alpha$ ше достава:

$P(x)=B(x)(x-\alpha )+R(x)$

Кед важи $x=\alpha$ достава ше:

$P(\alpha )=B(\alpha )(\alpha -\alpha )+R(\alpha ),$

односно, $P(\alpha )=R(\alpha )$ цо и требало доказац.

Приклад

Дати полином $p(x)=x^2+3x+2$.

Шлєбодни член то число $2$ и одредзиме його позитивни и нєґативни дзелїтелї $1,-1,2,-2$. Тоти дзелїтелї заменїме зоз $x$. Потим, дзелїме єдначину зоз $x-n$, при чим $n$ число хторе кед зме заменєли зоз $x$ дало $0$. Одредзуєме:

$p(x)=x^2+3x+2$

За $+1$ достанєме:

$p(+1)=1+3+2=6\ne 0$

Шлїдзи же полином нєдзелїви зоз $x-1$.

За $-1$ достанєме:

$p(-1)=1-3+2=0$

Шлїдзи же полином дзелїви зоз $x+1$.

За $+2$ достанєме:

$p(+2)=4+6+2=12\ne 0$

Шлїдзи же полином нєдзелїви зоз $x-2$.

За $-2$ достанєме:

$p(-2)=4-6+2=0$

Шлїдзи же полином дзелїви зоз $x+2$.

Дзелєнє випатра так:

Дзелєнє зоз $x+1$:

$(x^2+3x+2):(x+1)=x+2$

$-(x^2+x)$

$2x+2$

$-(2x+2)$

$0$

Преверйованє дзелєня

$(x+2)(x+1)=x^2+2x+x+2=x^2+3x+2$

Дзелєнє зоз $x-1$:

$(x^2+3x+2):(x-1)=x+4$ и остатoк $6$

$-(x^2-x)$

$4x+2$

$-(4x-4)$

$6$

Преверйованє дзелєня

$(x+4)(x-1)+6=x^2+4x-x-4+6=x^2+3x+2$

Дзелєнє зоз $x+2$:

$(x^2+3x+2):(x+2)=x+1$

$-(x^2+2x)$

$x+2$

$-(x+2)$

$0$

Преверйованє дзелєня

$(x+1)(x+2)=x^2+x+2x+2=x^2+3x+2$

Дзелєнє зоз $x-2$:

$(x^2+3x+2):(x-2)=x+5$ и остатoк $12$

$-(x^2-2x)$

$5x+2$

$-(5x-10)$

$12$

Преверйованє дзелєня

$(x+5)(x-2)+12=x^2+5x-2x-10+12=x^2+3x+2$