Опатриц жридло боку Реципрочна вредносц

'''Реципрочна вредносц''' числа <math>x</math>, хтора ше означує <math>\frac{1}{x}</math> або <math>x^{-1}</math>, то число хторе кед ше помножи зоз <math>x</math> достава ше резултат 1. 

Реципрочна вредносц розламка <math>\frac{a}{b}</math>  то <math>\frac{b}{a}</math>. 

За  доставанє реципрочней  вредносци реалного числа потребне подзелїц 1 зоз тим числом. Наприклад, реципрочна вредносц числа 5 то єдна пиятина (<math>\frac{1}{5}</math> або 0,2) а реципрочна вредносц числа 0,25 то 1 подзелєно зоз 0,25, односно 4. 

Реципрочна функция, функция <math>f(x)</math> хтора пресликовює <math>x</math> до <math>\frac{1}{x}</math>, єдна зоз найєдноставнєйших прикладох функциї хтора сама себе инверзна.

Нотация <math>f^{-1}</math> ше дакеди хаснує за инверзну функцию функциї <math>f</math>, хтора нєєднака зоз реципрочну вредносцу. Наприклад, реципрочна вредносц <math>\frac{1}{\sin{x}} = (\sin{x})^{-1}</math> то косеканс од <math>x</math>, и нєинверзни синус тє. аркус синус од <math>x</math> хтори ше означує зоз <math>\sin^{-1}{x}</math> або <math>\arcsin{x}</math>. 


== Комплексни числа ==
Реципрочна вредносц комплексного числа розличного од нули <math>z=a+bi</math> комплексна. Достава ше зоз множеньом и чишлїтеля и менователя <math>\frac{1}{z}</math> зоз його кон'юґовано-комплексним числом <math>\bar{z} = a - bi</math> и хаснуюци свойсво же <math>z\bar{z} = \|z\|^{2}</math>, квадрирана абсолутна вредносц <math>z</math>, а то реалне число <math>a^2 + b^2</math>:

<math>\frac{1}{z}= \frac{\bar{z}}{z\bar{z}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.</math>

Конкретно, кед <math>\|z\|</math> = 1, теди <math>\frac{1}{z} = \bar{z}</math>. 

За комплексне число у поларней форми <math>z = r(\cos{\varphi} + i\sin{\varphi})</math>, реципрочна вредносц єднака зоз реципрочну вредносцу интензитету <math>r</math> и негативни угли:

<math>{\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}\left(\cos{(-\varphi )}+i\sin{(-\varphi )}\right).</math>

== Инфинитезимални рахунок ==

=== Вивод ===
Вивод функциї <math>\frac{1}{x} = x^{-1}</math> дати на основи виводу ступньовей функциї, кед ступень -1:

<math>
\frac {d}{dx}}x^{-1}=(-1)x^{(-1)-1}=-x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}.</math>

=== Интеґрал ===
Интеґрал ступньовей функциї ше нє може хасновац же би ше вираховал интеґрал <math>\frac{1}{x}</math>, прето же би то було дзелєнє зоз нулу:

<math>
\int {\frac {1}{x}}\,dx={\frac {x^{0}}{0}}\ +C</math>.

Прето ше интеґрал рахує як: 

<math>
\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}dx=\ln{a},</math>

<math>
\int {\frac {1}{x}}dx=\ln x+C.</math>

дзе <math>
\ln</math> природни лоґаритем. Най тото докажеме мушиме вжац до огляду же  <math>
 \frac {d}{dx}e^{x}=e^{x}</math>, та кед  <math>
 y = e^x</math>и <math>
 x = \ln{y}</math>, доставаме:

<math>
 {\frac {dy}{dx}}=y\quad \Rightarrow \quad {\frac {dy}{y}}=dx\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {1}{y}}\,dy=\int 1\,dx\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {1}{y}}\,dy=x+C=\ln y+C.
</math>