Опатриц жридло боку Виєтово формули

У математики, односно алґебри, '''Виєтово формули''', хтори достали мено по Франсоа Виєту, формули хтори даваю вязу помедзи нулами єдного полинома и його коефициєнтами.

== Формули ==
Кед
<math>P(X)=a_nX^n  + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots + a_1 X+ a_0</math> полином ступня <math>n\ge 1</math> зоз комплекснима коефициєнтами (числа <math>a_0, a_1, \dots, a_{n-1}, a_n</math> комплексни, и <math>a_n\ne 0</math>), по основней теореми аритметики <math>P(X)</math> ма <math>n</math> (нєобовязно розлични) комплексни коренї <math>x_1, x_2, \dots, x_n.</math> Виєтово формули:

:<math>x_1 + x_2 + \cdots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}</math>

:<math>(x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}</math>
:<math>\cdots\,</math>
:<math>x_1 x_2 \cdots x_n = (-1)^n\frac{a_0}{a_n}.</math>

З другима словами, сума шицких можлївих продуктох <math>k</math> нулох полинома <math>P(X)</math> єднака <math>(-1)^ka_{n-k}/a_n,</math>

: <math>\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}</math>

за кажде <math>k=1, 2, \dots, n.</math>

Виєтово формули важа за полиноми зоз коефициєнтами у гоч хторим комутативним персценю, потамаль покля тот полином ступня <math>n</math> ма <math>n</math> нули у тим персценю.

== Приклад ==
За полином другого ступня <math>P(X)=aX^2 + bX + c</math>, <math>x_1</math> и <math>x_2</math> ришєня квадратней єдначини, односно важи <math>P(X)=0</math> задоволюю єднакосц
:<math> x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.</math>

Перша єдначина може ше похасновац же би ше нашол минимум (або максимум) од ''P''.

== Доказ ==
Виєтово формули ше можу доказац зоз записованьом єднакосци:
<math>a_nX^n  + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots + a_1 X+ a_0 = a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdots (X-x_n)</math>

(цо точне, прето же <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> шицки нули полинома), зоз множеньом през фактори зоз правого боку и глєданьом коефициєнта за кажди ступень <math>X</math>.

[[Катеґория:Математика]]