Опатриц жридло боку Експоненциялни єдначини

Єдначини у хторих ше нєпозната велькосц находзи у екпоненту ступня волаю ше '''експоненциялни єдначини'''.
Експоненциялна єдначина дефинована за шицки вредосци нєпознатей велькосци ''x'' зоз домену реалних числох.

==Єдноставни експоненциялни єдначини==
Под єдноставнима експоненциялнима єдначинами подрозумюю ше єдначини хтори маю єден член зоз нєпознату велькосцу у експоненту ступня:
:<math> 3^{2(x+1)} =81 \, </math>
: <math>
\begin{align}
3^{2(x+1)} & =  3^4    \\
2(x+1) & =  4   \\
2x+2 & =  4   \\
x & = 1  \\
\end{align}
</math>

==Зложени експоненциялни єдначини==
Зложени експоненциялни єдначини содержа векше число членох у хторих нєпозната велькосц у експоненту ступня.

===Приклад 1===
Ришиц експоненциялну єдначину:
:<math> 4^{(x^2-x+1)} =8^x \, </math>
: <math>
\begin{align}
2^{2(x^2-x+1)} & = 2^{3x}  \\
2(x^2-x+1)& =  3x   \\
2x^2-2x+2& =  3x   \\
2x^2-5x+2& = 0    \\
\end{align}
</math>
Кед ше риши [[квадратна єдначина]] достава ше ришеня <math>x_1=2 </math> и <math> x_2=\frac{1}{2} </math>, так же обидва ришеня задоволюю условия експоненциялней єдначини.

===Приклад 2===
Ришиц експоненциялну єдначину:
:<math>  {\bigg(\frac{3}{7}\bigg)}^{3x-7}- {\bigg(\frac{7}{3}\bigg)}^{7x-3} = 0 </math>
Кед ше похаснує правила за операциї зоз ступнями, достанє ше:
:<math>
\begin{align}
{\bigg(\frac{3}{7}\bigg)}^{3x-7}& = {\bigg(\frac{7}{3}\bigg)}^{7x-3}   \\
{\bigg(\frac{3}{7}\bigg)}^{3x-7}& =  {\bigg(\frac{3}{7}\bigg)}^{-7x+3}  \\
3x-7& = -7x+3  \\
10x &= 10  \\
x&=1
\end{align}
</math>

===Приклад 3===
Ришиц експоненциялну єдначину:
:<math> 3\cdot4^x + 2 \cdot9^x  = 5\cdot 6^x </math>                              
Кед ше риши єдначина, достанє ше:
:<math>
\begin{align}
3\cdot 2^{2x} + 2 \cdot3^{2x}  & =  5\cdot 2^x3^x  /:2^x 3^x \\
3\frac{2^x}{3^x} +2 \frac{3^x}{2^x }  & =  5  \\
3{\bigg(\frac{2}{3}\bigg)}^x +2{\bigg(\frac{3}{2}\bigg)}^x & =5 /: {(\frac{2}{3})}^x=y \\
3y +2 \frac{1}{y }-5& = 0  / \cdot y \\
3y^2 -5y +2 & =  0 \\
\end{align}
</math>
Кед ше риши достата квадратна єдначина по y достанє ше же <math> y_1=1 </math> и <math> y_2=\frac{4}{6} </math>. Кед ше вежнє до огляду же <math>(\frac{2}{3})^x = y </math>, доходзи ше и до конєчного ришеня початней експоненциялней єдначини <math>x_1=0 </math>, a <math>x_2=1</math>.

===Приклад 4===
Ришиц експоненциялну єдначину:
:<math> 27^{(x^2-3x-3)} - {\bigg(\frac{1}{27}\bigg)}^x = 0  </math> 
                             
Кед ше риши єдначина, достанє ше:
:<math>
\begin{align}
{3}^{3(x^2-3x-3)} & =  3^{-3x}  \\
3(x^2-3x-3)& =  -3x   \\
3x^2 -9x -9  & = -3x  \\
3x^2-6x-9& = 0 /:3   \\
x^2-2x-3& = 0 /  \\
\end{align}
</math>
Кед ше риши найдзена квадратна єдначина по достава ше и ришенє експоненциялней єдначини :<math> x_1=3 </math> и <math> x_2=-1 </math> и обидва ришеня задоволюю условия експоненциялней єдначини.
==Литература==
*Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, 2006.